مقاله در مورد گراف

مقاله گراف به معرفی جامع و کاملی از نظریه گراف‌ ها و کاربردهای آن در ریاضیات و علوم کامپیوتر می‌ پردازد. مفاهیم پایه مانند راس‌ها، یال‌ها، درجه راس‌ها، مسیرها و دورها توضیح داده شده‌اند. همچنین موضوعات پیشرفته‌تر شامل گراف‌های اویلری، همیلتنی، گراف‌های دوبخشی، تطابق‌ها، و رنگ‌آمیزی یالی مورد بررسی قرار گرفته‌اند. مقاله با ارائه قضایا و اثبات‌های مربوطه، ابزارها و الگوریتم‌های مختلف برای حل مسائل مرتبط با گراف‌ها را معرفی می‌کند و کاربردهای عملی نظریه گراف‌ها در مسائل واقعی مانند مساله پستچی چینی و فروشنده دوره‌گرد را بررسی می‌کند.

مقدمه

در دنیای اطراف ما، وضعیف های فراوانی وجود دارند که می توان توسط نموداری متشکل از یک مجموعه نقاط ، به علاوه خطوطی که برخی از این نقاط را به یکدیگر متصل می کنند، به توصیف آنها پرداخت، به عنوان مثال ، برای نشان دادن رابطه دوستی بین یک دسته از انسان ها می نوانیم هر شخص را با یک نقطه مشخص کنیم .

نقاط متناظر با هر دو دوست را با یک خط به یکدیگر وصل نماییم، یا در جای دیگر ممکن است برای نشان دادن یک شبکه ارتباطی، از نموداری استفاده کنیم که در آن ، نقاط نمایانگر مراکز ارتباطی و خطوط، نشان دهنده پیوندهای ارتباطی بین مراکز باشند. توجه داشته باشید که در این گونه نمودارها، آن چه بیشتر مورد توجه است این است که آیا دو نقطه داده شده ، به وسیله یک خط به یکدیگر متصل هستند یا نه و طریقه اتصال آنها اهمیتی ندارد. تجربه ریاضی این وضعیت ها به مفهوم گراف منتهی می شود.

گراف G یک سه تایی مرتب است که تشکیل شده از یک مجموعه ناتهیV(G) از راس ها، یک مجموعه E(G) – مجزای از V(G) – از یال ها و یک تابع وقوع که به هر یال G ، یک زوج نا مرتب از راس های G را – که الزاماً متمایز نیستند – نسبت می دهد. اگر e یک یال وu و دو راس باشند به طوری که ، در این صورت گفته می شود که e، راس هایu و را به یکدیگر وصل کرده است و راس های u و ، دو سر یال e نامیده می شوند.

دلیل نامگذاری گراف ها بدین نام، این است که می توان آنها را به صورت گرافیکی نمایش داد و همین نمایش گرافیکی است که ما را در درک بسیاری از خواص گراف ها یاری می کند. در این گونه نمایش داده می شود.

آشنایی با گراف

نمودار یک گراف ، فقط رابطه وقوعی را که بین راس ها و یال ها برقرار است، نشان می دهد، با این حال در غالب اوقات ، نموداری از یک گراف را رسم کرده ، به جای خود گراف ، به نمودار آن اشاره می کنیم. به همین منوال نقطه های آن را «راس» و خطوط آن را «یال» می نامیم.

اگر یک گراف ، نموداری داشته باشد که در آن یال ها تنها در راس های دو سر خود متقاطع باشند، مسطح نامیده می شود، چون می توان به سادگی این گونه گراف ها را روی یک صفحه مسطح رسم کرد. دو راس که برروی یال مشترکی واقعند ، مجاور نامیده می شوند. به همین ترتیب دو یال واقع بر روی یک راس مشترک نیز مجاورند. یک یال با دو سر یکسان ، طوقه و یک یال با دو سر متمایز ، یال پیوندی نامیده‌می‌شود.

اگر مجموعه راس ها و مجموعه یال های یک گراف، متناهی باشند، گراف مزبور را متناهی می نامند. گرافی را که یک راس داشته باشد بدیهی و سایر گراف ها را غیر بدیهی می نامیم.
یک گراف ساده است، اگر هیچ طوقه ای نداشته باشد و بین هر دو راس آن ، بیش از یک یال نباشد . نمادهای را به ترتیب برای نشان دادن تعداد راس ها و تعداد یال های گراف G به کار می بریم.

فهرست مطالب

فصل اول
مقدمه
آشنایی با گراف
یک ریختی گراف ها
ماتریس وقوع . مجاورت
زیر گراف ها
درجه راس ها
مسیرها
دور ها
مساله کوتاه ترین مسیر

فصل دوم
درخت ها
یال های برشی و باندها…..
راس های برشی
فرمول کیلی
مساله ارتباط دهی

فصل سوم
همبندی
ساخت شبکه های ارتباطی قابل اعتماد
تورهای اویلری و دورهای همیلتنی
دور های همیلتنی
مساله پستچی چینی
الگوریتم فلوری
مساله فروشنده دوره گرد

فصل چهارم
تطابق ها
تطابق ها و پوشش ها در گراف های دو بخشی
تطابق کامل
رنگ آمیزی یالی
قضیه ویزینگ
مساله زمان بندی

فصل پنجم
پیوست